MATA174 Johdatus matemaattiseen analyysiin 4 (5 op)
Kuvaus
Sisältö
Lukusarjat ja niiden ominaisuudet. Epäoleelliset integraalit. Funktiojonot ja niiden suppeneminen. Funktiosarjat, potenssisarjat ja Taylor-kehitelmät.
Fitzpatrick: Advanced Calculus, luvut 8-9. tai Brannan: A first course in Mathematical Analysis, luvut 3 ja 8.
Suoritustavat
Opintojakso suoritetaan kurssitentillä tai lopputentillä.
Kurssitenttiin osallistumiseen vaaditaan kontaktiopetuksiin osallistumista ja viikottaisten harjoitustehtävien tekemistä. Lisäksi kurssitenttiin saa lisäpisteitä tehdyistä viikottaisista harjoitustehtävistä.
Jos opintojakson suorittaa lopputentillä, ei harjoitustehtävien lisäpisteitä voi hyödyntää.
Arviointiperusteet
Arviointi kurssitentillä:
* viikottaisista harjoitustehtävistä tehtävä opetusohjelmassa ilmoitettava vähimmäismäärä
* kurssitentin maksimipistemäärästä saatava vähintään 50%
* harjoitustehtävistä saatavilla lisäpisteillä on mahdollista korottaa arvosanaa.
Arviointi lopputentillä:
* lopputentin maksimipistemäärästä saatava vähintään 50%.
Osaamistavoitteet
Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelijan tulisi osata
* selittää, miten reaalifunktiota voidaan arvioida Taylorin polynomeilla, ja laskea annetun funktion Taylorin polynomit
* soveltaa Taylorin lausetta jäännöstermin arviointiin ja raja-arvojen laskemiseen
* esittää funktiojonon pisteittäisen ja tasaisen suppenemisen määritelmät sekä tutkia, suppeneeko annettu funktiojono pisteittäin tai tasaisesti
* käyttää funktiojonon tasaista suppenemista rajafunktion ominaisuuksien selvittämiseen
* esittää lukusarjan ja sen suppenemisen määritelmät
* antaa esimerkkejä sekä suppenevista että hajaantuvista lukusarjoista ja tunnistaa tavallisimmat lukusarjat (geometrinen sarja, harmoninen sarja, vuorotteleva harmoninen sarja, yli- ja aliharmoninen sarja)
* käyttää suppenemistestejä (majorantti-/minoranttitesti, osamäärätesti, suhdetesti, juuritesti, integraalitesti, Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille) lukusarjan suppenemisen tutkimiseen
* tiedostaa, että summausjärjestyksen vaihto voi vaikuttaa sarjan suppenemiseen (Riemannin uudelleenjärjestelylause)
* esittää funktiosarjan pisteittäisen, itseisen ja tasaisen suppenemisen määritelmät sekä tutkia, suppeneeko annettu funktiosarja
* selittää ja käyttää summafunktion ominaisuuksia itseisesti suppenevalle sarjalle
* soveltaa Weierstrassin testiä funktiojonon tasaiselle suppenemiselle
* esittää potenssisarjan, suppenemissäteen ja -välin määritelmät ja selittää, missä joukossa potenssisarja voi supeta
* löytää annetun potenssisarjan suppenemissäde ja joukko, jossa potenssisarja suppenee
* tunnistaa funktion ja potenssisarjan yhteys
* tutkia epäoleellisten integraalien suppenemista ja hyödyntää näitä sarjojen suppenemiseen liittyvissä kysymyksissä.
Lisätietoja
48 h kontaktiopetusta, 8 laskuharjoituskertaa.
Kirjallisuus
- P.M Fitzpatrick: Advanced Calculus (2nd ed); ISBN: 978-0-8218-4791-6
- D. Brannan: A first course in Mathematical Analysis; ISBN: 13 978-0-521-6842-8