[edellinen] [sisällys] [seuraava]

4.3 Sivuaineet tietotekniikan LuK-tutkinnossa

Kandidaatin tutkintoa varten ohjelmisto- ja tietoliikennetekniikkaan suuntautuvat suorittavat joko matematiikan perusopinnot (25 op) tai tietoteknikon menetelmäopintokokonaisuuden (30 op). Laskennallisiin tieteisiin suuntaavat suorittavat matematiikan perusopinnot (25 op). Heille suositellaan myös toista luonnontieteellistä perusopintokokonaisuutta (25 op), esimerkiksi fysiikkaa tai kemiaa. Koulutusteknologian aineenopettajankoulutuksessa opiskelevat suorittavat ensimmäisenä sivuaineenaan opettajan pedagogiset opinnot (katso luku 4.3.6).

Maisterin tutkintoa varten tarvitaan alemman tutkinnon rakenteesta ja suuntautumisvaihtoehdosta riippuen joko kaksi, yksi tai ei yhtään sivuainekokonaisuutta. Maisteriopintojen eri suuntautumisvaihtoehtojen kohdalla on kerrottu, mitä sivuainevaatimuksia tai -suosituksia kuhunkin suuntautumisvaihtoehtoon kuuluu.

Tietotekniikan opintoja tukevia valinnaisia sivuaineita ovat esimerkiksi fysiikka, elektroniikka, tilastotiede (luku 3.3.7) ja muut luonnontieteelliset sivuaineet, mutta myös kauppatieteellinen sivuaine on hyvä vaihtoehto. Sivuainevalinnoilla opiskelija voi profiloida tutkintoaan ja rakentaa siitä itsensä näköisen. Sivuainevalinnan perusteena voivat olla esimerkiksi harrastukset tai omat urasuunnitelmat.

4.3.1 Matematiikka

Tietotekniikan menetelmät perustuvat matemaattiseen käsitteistöön, minkä vuoksi matematiikan sivuaineopinnoilla on tietotekniikan koulutuksessa tärkeä asema. Tutkintoon vaadittavat matematiikan opinnot on syytä suorittaa mahdollisimman varhaisessa vaiheessa, sillä monet kandidaatin tutkintoon sisältyvät tietotekniikan opinnot ja varsinkin maisterin tutkintoon sisältyvät kurssit edellyttävät laajahkoja matemaattisia esitietoja. Lisäksi "roikkumaan" jääneiden matematiikan perusopintokurssien suorittaminen yhtäaikaa tietotekniikan syventävien kurssien kanssa aiheuttaa todennäköisesti huomattavaa luentoaikojen päällekkäisyyttä.

Matematiikan opintojen tavoitteena on kehittää matemaattista ajattelua eli johdonmukaista ja aukotonta päättelyä, tunnistaa yksinkertaisimpia matemaattisia ongelmia ja osata ratkaista niitä itsenäisesti, antaa laaja yleiskuva matematiikan rakenteesta ja soveltamistavoista ja tutustuttaa eräisiin keskeisiin matematiikan osa-alueisiin. Tärkeänä tavoitteena on myös matemaattisen kielenkäytön oppiminen: matemaattisista ideoista kommunikointiin harjaantuminen, erityisesti oman matemaattisen ajattelun suullisen ja kirjallisen ilmaisun kehittäminen. Matematiikan osaamisessa olennaista on tietosisältöjen ymmärtäminen ja kyky soveltaa hankittua tietoa uusien ongelmien ratkaisemisessa.

Pohjatietoina edellytetään lukion matematiikan pitkän oppimäärän hyvää tai lyhyen oppimäärän kiitettävää hallintaa. Opiskelun etenemisessä ratkaisevan tärkeää on kuitenkin oma työ: tehtävien ratkaiseminen, itsenäinen opiskelu ja ohjattuun opiskeluun osallistuminen.


Matematiikan perusopinnot sivuaineena, 25 op

Matematiikkaa sivuaineena opiskelevat voivat suorittaa matematiikan perusopinnot kahdella vaihtoehtoisella tavalla. Vaihtoehto A on teoreettisempi kuin vaihtoehto B ja sitä suositellaan niille, jotka aikovat jatkaa matematiikan opintoja ja suorittaa matematiikan aineopintokokonaisuuden. Myös vaihtoehdon B kautta voi jatkaa aineopintoihin, mutta se ei tarjoa yhtä vankkaa teorian ymmärrystä.

joko
MATP121
MATP311
MATP312
MATA116
MATP/Axxx
Vaihtoehto A
Lineaarinen algebra ja geometria 1
Johdatus reaalifunktioihin
Raja-arvot ja jatkuvuus
Derivaatta ja integraali A
Valinnaisia MATP/MATA-tasoisia kursseja

6
5
5
5
4
Yhteensä vähintään25
tai
MATP121
MATP153
MATP162
MATP163
MATP/Axxx
Vaihtoehto B
Lineaarinen algebra ja geometria 1
Approbatur 1B
Approbatur 2A
Approbatus 2B
Valinnaisia MATP/MATA-tasoisia kursseja

6
4
5
5
5
Yhteensä vähintään25

Matematiikan perus- ja aineopinnot sivuaineena, 60 op
Matematiikan perusopintokokonaisuus sisältäen kurssin Raja-arvot ja jatkuvuus25
MATA116
MATA117
MATA113
MATA251
MATA252
lisäksi
Derivaatta ja integraali A
Derivaatta ja integraali B
Analyysi 3
Vektorifunktioiden analyysi 1A
Vektorifunktioiden analyysi 1B
Valinnaisia MATA-tason kursseja
5
5
5
5
5
10
Yhteensä vähintään60

Valinnaisiksi opinnoiksi hyväksytään Todennäköisyyslaskenta. Katso suosituksia valinnaisiksi kursseiksi laitoksen www-sivuilla olevista listoista. Näistä suosituksista poikkeavista kurssivalinnoista on hyvä keskustella etukäteen matematiikan ja tilastotieteen laitoksen matematiikan puolen opintoneuvojan kanssa.

Syventäviin opintoihin jatkaville suositellaan tässä vaihtoehdossa samanlaista kokonaisuutta kuin matematiikan pääaineopiskelijoille ­kuitenkin laajuudeltaan 60 op ja ilman kandidaatintutkielmaa.

Perusopinnoista ja aineopinnoista voidaan antaa erilliset merkinnät.

4.3.2 Miksi tietotekniikan opiskelijan kannattaa opiskella matematiikkaa?

Aluksi voisi kuvitella, ettei perustietotekniikkaan kovin paljoa matematiikkaa tarvita. Mutta ehkei asia ole ihan näin yksinkertainen. Matemaattisen ajattelun hallinta antaa hyvät eväät tulla taitavaksi ohjelmoijaksi - myös laaja-alaisesti tarkasteltuna. Perinteinen ohjelmistotuotanto jakaa ohjelmistokehityksen työtehtävät eri vaiheisiin suunnittelusta toteutukseen ja ylläpitoon. Kuhunkin vaiheeseen tarvitaan eri rooleissa olevia tekijöitä ja henkilöitä. Tällainen työskentelytapa on kuitenkin tarkoitettu erittäin laajojen ohjelmistokehityshankkeiden hallinnan tueksi. Monissa tapauksissa saman ohjelmistotuotteen voikin saada aikaan ketterämmin tiivistämällä ja fokusoimalla tekemistä varsinaisen (ohjelmisto vrt. matemaattisen) ongelman ratkaisemisen ympärille. Näin toimien ei ohjelmistotuotantoa sitten tarvitsekaan ulkoistaa esimerkiksi Intiaan, vaan tuote voidaan tehdä suoraan siellä, missä on paras ymmärrys sen sisällöstä (eli sille asetetuista vaatimuksista).

Seuraavassa muutamia esimerkkejä siitä, missä matematiikka auttaa ohjelmoijaa:

Tietokonegrafiikka ja lineaarikuvaukset

Otetaanpa esimerkiksi nykyaikainen tietokonepeli, jossa hahmot liikkuvat 3-ulotteisessa maailmassa. Perusongelmahan on tuoda 3-ulotteisen maailman kohteet kuvaruudun 2-ulotteiselle pinnalle niin että katsojasta kuva näyttää 3-ulotteiselta. Tähän tarvitaan ainakin perspektiivimuunnosta, kuvan kiertoa, siirtoa ja projisiointia. Lineaarialgebraa käsittelevällä kurssilla tutustutaan lineaarikuvauksiin, joilla mm. kuvan kierto voidaan tehdä. Kuvan siirtoa lineaarikuvauksella ei määritelmän mukaan saadakaan aikaiseksi. Mutta siirtymällä yhtä ulottuvuutta ylemmäksi 4-ulotteiseen avaruuteen voidaankin kaikki tarvittavat kuvamuunnokset tehdä lineaarikuvauksina tai kuvauksia sopivasti yhdistelemällä vain yhtenä kuvauksena. Lineaarikuvaus taas voidaan esittää matriisien kertolaskuna. Näin nykyisten grafiikkakorttien yksi tärkeimmistä tehtävistä onkin suorittaa erittäin nopeasti 4x4 matriisien kertolaskuja.

Todistaa ja ohjelmoida

Kuuluisa hollantilainen tietoteknikko Edsger W. Dijkstra perusteli vuonna 1973 artikkelissaan "Programming as a discipline of mathematical nature", kuinka ohjelmointi on hyvin lähellä matematiikasta tuttua väittämien ja lauseiden todistamista. Ensialkuun tämä väite vaikuttaa perin oudolta, mutta pohditaanpa sitä hiukan.

Kun matemaatikko todistaa väitteen, ei hän suinkaan kirjoita yhdeltä istumalta kaunista, loogisesti etenevää todistusta. Hänellä on kyllä varmasti näkemys siitä, mitä tavoitella ja miten, mutta työstäminen on sitten vain tehtävä. Alkutilasta, aksioomista ja jo todistetuista lauseista lähtien, lemma lemmalta, vaihe vaiheelta, lopullinen todistus muotoutuu. Välillä voidaan ajautua umpikujaan, mutta sieltähän pääsee pois peruuttamalla. Välillä tilanne voi näyttää mahdottomalta, mutta silloin tarvitaankin intuitiota ja kokeilunhalua.

Kuinka ohjelmoija sitten ohjelmoi? Hänellä on näkemys siitä, mitä ohjelman pitäisi tehdä. Niinpä hän alkutilasta, syöttötiedoista ja jo toteutetuista kirjastoista lähtien, aliohjelma aliohjelmalta, vaatimus vaatimukselta, ohjelmoi lopullisen ohjelman. Hän toimii samalla tavalla kuin matemaatikko todistaessaan!

Onko todistamisella ja ohjelmoinnilla sitten muuta yhteistä kuin toimintatapa? Toki on, sillä molemmat vaativat kykyä hahmottaa suuria, hankalasti ymmärrettäviä kokonaisuuksia ja osata jakaa ne pienenpieniin, helposti ymmärrettäviin osakokonaisuuksiin, joiden käsittelyn hallitsemme. Kasaamalla noita osakokonaisuuksia yhteen tunnistaen niiden ominaisuudet muodostuu niin ohjelma kuin todistus.

Yleistäminen ja analyysi sekä topologia

Sekä matematiikassa että ohjelmoinnissa pyritään löytämään mahdollisimman yleinen ratkaisu. Matematiikassa se on lause, joka kattaa tietyssä mielessä kaikki vastaavat tapaukset. Esimerkiksi tulos: "sini-funktio saa kaikki arvot -1:n ja 1:n välillä" ei ole ollenkaan niin vahva ja käyttökelpoinen tulos kuin: "jatkuva funktio saa suljetulla välillä kaikki mahdolliset välin päätepisteiden väliset arvot". Jälkimmäisestä seuraa edellinen. Ohjelmoinnissa on järkevämpää tehdä ohjelma, joka samalla kykenee hoitamaan sekä miesten 10-ottelun pistelaskennan että naisten 7-ottelun pistelaskennan kuin tekemällä kaksi täysin erillistä ohjelmaa.

Yleistäminen vain on aloittelevalle ohjelmoijalle varsin vaikea tehtävä. Siksi yleistämistä pitääkin harjoitella mahdollisimman paljon. Matematiikka tarjoaa tämän harjoitteluun oivan apuvälineen. Käytännön ohjelmat ovat niin laajoja, ettei yleistämistä ehdittäisi kovin usein harjoitella. Matemaattisessa analyysissä tai topologiassa on visuaalisesti kuvattavia pikkuongelmia, joille voidaan löytää esimerkiksi useampi-ulotteisia yleistyksiä tai - kuten edellisessä sini-esimerkissä- ne ehdot, jotka ovat ongelman kannalta oleellisia. Matematiikkaa ei pidäkään ajatella kokoelmana lauseita ja määritelmiä, jotka pitää osata ulkoa, vaan erinomaisena harjoittelualustana ajattelun kehittämiseen.

Yleistämään kykenevä henkilö pystyy tekemään ohjelmia, jotka koostuvat Osista, joissa asiakkaiden muuttuvat vaatimukset on helpompi huomioida kuin sellaisissa ohjelmissa, jotka ovat alun perin tarkoitettu vain yhden ongelman ratkaisemiseen. Samoin yleistykseen kykenevä henkilö pystyy muodostamaan itselleen työkalulaatikon, eli kirjaston komponentteja, joiden avulla seuraavat ohjelmat ovat kilpailijoita nopeammin koostettavissa.

Algoritmit ja laskettavuus

Usein aloittelija kuvittelee, että pelkkä tietokoneen tehon nostaminen riittää tekemään hitaista ohjelmista nopeita. Valitettavasti asia ei ole näin. On paljon tehtäviä, jotka voidaan osoittaa vaihtoehtojen määrältään niin vaativiksi, ettei mikään käytettävissä oleva teho riitä tehtävien ratkaisemiseksi kaikki vaihtoehdot kokeilemalla. Tyypillisiä tällaisia tehtäviä ovat esimerkiksi optimaalisen lukujärjestyksen laatiminen tai edullisimman jakeluauton reitin löytäminen. Molemmat ongelmat voidaan osoittaa ekvivalentiksi ns. kauppamatkustajaongelman http://en.wikipedia.org/wiki/Traveling_salesman_problem kanssa. Vastaavasti kauppamatkustajaongelmasta voidaan osoittaa, että sen "raakavoimaratkaisu" on aikavaativuudeltaan eksponentiaalinen, eli käytännössä jos käsiteltävän aineiston koko kasvaa, niin tehtävää ei voida enää tietokoneella ratkaista.

Yksinkertaisempiinkin ongelmiin, kuten esimerkiksi lajitteluun, on helppo keksiä ratkaisuja, joilla esim. 1000 alkion lajitteluun tarvitaan jo miljoona operaatiota. Kun vastaavasti paremmalla algoritmilla 1000 alkiota voidaan järjestää 10000 operaatiolla. Eli 100-kertainen ero nopeudessa on kallis paikattavaksi konetehoa nostamalla. Konetehohan nousee Mooren lain mukaan 18 kuukauden välein kaksinkertaiseksi.

Algoritmien analysointiin ja oikeaksi todistamiseen tarvitaan matematiikkaa. Luonnollisesti kaikkien ei tarvitse täysin osata analysoida algoritmien kompleksisuutta, mutta jokaisen on osattava tunnistaa karkea suuruusluokka käyttämilleen algoritmeille. Ohjelma on vähintään yhtä hidas kuin sen hitain osa.

Testaaminen ja kombinaatiot

Miksi nykyiset ohjelmat ovat niin epäluotettavia? Syynä ovat väärät ohjelmointitavat ja sen myötä puutteellinen testaaminen. Ohjelman koon kasvaessa erilaisten kombinaatioiden määrä kasvaa. Pitää olla todella kurinalaista ajattelua, jotta pystyy keksimään kaikki mahdolliset ja mahdottomat asiat, jotka pitää testata. Lisäksi pitäisi pystyä todistamaan, että testitapaukset ovat kattavia mutta ettei niissä ole turhaa päällekkäisyyttä. Taas hyvä matemaattinen, aina epäilemään opetettu ajattelutapa auttaa tässä löytämään oikeita testitapauksia. Matemaatikko koosti todistuksensa jo todistetuista osatuloksista. Aivan vastaavasti ohjelmoijan on testattava osakokonaisuuksia alusta alkaen ja mieluummin jo ennen osakokonaisuuksien tekoa määriteltävä niiden testitapaukset.

Matemaattinen formalismi

Kun tietotekniikassa mennään hieman pitemmälle, lausutaan asiat aivan samankaltaisella formaalilla kielellä, jota matematiikassa käytetään. Siksi matemaattisen merkintätavan tunteminen jo etukäteen helpottaa asioiden seuraamista. Toisaalta työ ei saa mennä liian kaavamaiseksi - luomisen ilo on aina säilytettävä.

Perinteisemmät matematiikkaa vaativat ongelmat

On luonnollista, että esimerkiksi teollisuudessa mahdollisten ohjauslaitteiden suunnittelijoiden pitää ymmärtää miten massoja voidaan liikutella ja hallita. Painavaa koneen osaa ei voidakaan pysäyttää hetkessä sanomalla "seis". Tarvitaan fysiikkaa, ja sitä kautta helposti numeerista matematiikkaa.

Simulointia ja optimointia on oikeastaan mahdotonta edes kuvitella ilman erittäin vahvaa numeerisen analyysin osaamista.

Tietoliikenne perustuu hyvin pitkälle signaalinkäsittelyyn, joka taas perustuu mm. Fourier-sarjoihin ja muunnoksiin. Tietoturva ja salaus pohjautuvat algebraan ja suurien alkulukujen käyttöön. Hahmontunnistuksen olennaisena osana ovat kehittyneet tilastolliset menetelmät. Tiedonlouhinnan ja neurolaskennan opetusalgoritmit hyödyntävät erilaisia optimointimenetelmiä. Myös tietoliikenneverkkojen hallinta nojautuu niiden toiminnan optimointiin niin operaattorin kuin asiakkaan kannalta.

4.3.3 Tietoteknikon menetelmäopintokokonaisuus 30 op

Tietoteknikon menetelmäopintokokonaisuus koostuu pakollisista matematiikan opintojaksoista, monitieteellisestä pelikehitysopintojaksoista, sekä vähintään perustasoisista opintojaksoista, jotka tukevat esimerkiksi pelikehittäjän opintoja. Tällaisia opintojaksoja ovat esimerkiksi fysiikan ja elektroniikan, tilastotieteen, musiikkiteknologia, luovan kirjoittamisen, psykologian ja kognitiotieteen, digitaalisen kulttuurin ja kuvankäsittelyn tai matematiikan opinnot. Kurssitarjonta vaihtelee lukuvuosittain, joten ajankohtaisin tieto järjestettävistä kursseista kannattaa tarkistaa Korpista tai suoraan eri ainelaitoksilta.Opintokokonaisuuden sisältö sovitaan yhdessä opintoneuvojan kanssa ja kirjataan henkilökohtaiseen opintosuunnitelmaan (HOPS).

Pakolliset matematiikan opinnot
  • MATP101 Johdatus matematiikkaan, 2-5 op
  • MATP152 Approbatur 1A, 4 op TAI MATP121 Lineaarinen algebra ja geometria 1, 6 op
  • MATP170 Approbatur 3, 5 op

Pakollinen monitieteellinen pelikehitysopintojakso
  • HTKA112 Pelin lumo, 5 op tai vastaava (esim. TIEA219 Pelisuunnittelu, 5 op)

Esimerkiksi valinnaisesti 13-15 op seuraavien alojen vähintään perusopintotasoisia opintoja
  • Fysiikan ja elektroniikan opintoja
  • Tilastotieteen opintoja
  • Musiikkiteknologian opintoja
  • Luovan kirjoittamisen opintoja
  • Psykologian ja kognitiotieteen opintoja
  • Digitaalisen kulttuurin ja kuvankäsittelyn opintoja
  • Matematiikan alan opintoja, esimerkiksi
    • MATP180 Symbolinen laskenta, 2 op
    • TILA121 Todennäköisyyslaskenta, 5 op

Taulukko 4.13: Tietoteknikon menetelmäopintokokonaisuuden rakenne

4.3.4 Kauppakorkeakoulun tarjoamat sivuaineet

Kaikki Jyväskylän yliopiston tutkinto-opiskelijat voivat suorittaa vapaasti seuraavia sivuainekokonaisuuksia:

Huomio! Vaikka Rahoituksen sekä Alue- ja ympäristötalouden opintokokonaisuudet ovat niin sanottuja vapaita opintokokonaisuuksia, niin kokonaisuuksille on kuitenkin ilmoittauduttava Korppi-opintotietojärjestelmän kautta. Lisätietoja ilmoittautumisesta löytyy kansantaloustieteen WWW-sivustolta osoitteesta https://www.jyu.fi/jsbe/ktt.

4.3.5 Fysiikka ja elektroniikka

Fysiikan alalla voi sivuaineopintoina suorittaa kaikille vapaat fysiikan ja elektroniikan perusopintojen ja aineopintojen sekä fysiikan, elektroniikan, soveltavan fysiikan ja teoreettisen fysiikan syventävien opintojen opintokokonaisuudet. Lisätietoa matemaattis-luonnontieteellisen tiedekunnan opinto-oppaassa: http://opinto-opas.jyu.fi/science/2012/opas/html/?id=Fysiikka_ja_elektroniikka

4.3.6 Koulutusteknologiaa opiskelevien sivuaineopinnot

Aineenopettajankoulutus

Kaikki koulutusteknologian aineenopettajankoulutuksessa opiskelevat suorittavat ensimmäisenä sivuaineenaan opettajan pedagogiset opinnot. Ko. opinnot antavat laissa määrätyn (asetus opetustoimen henkilöstön kelpoisuusvaatimuksista 865/2005) muodollisen kelpoisuuden opetustehtäviin. Opettajan pedagogiset opinnot (60 op) jakautuvat perus- ja aineopintoihin.

Pedagogisten opintojen suorittamisessa on pieniä eroja sen mukaan onko opiskelija valittu koulutukseen ns. suoravalinnassa eli jo tietotekniikan opintoihin hakeutuessa, vai onko opiskelija hakeutumassa aineenopettajankoulutukseen vasta opintojen myöhemmässä vaiheessa:

Haku ja ilmoittautuminen opettajan pedagogisiin aineopintoihin on vuosittain joulu-tammikuussa ja soveltuvuuskoe (ei suoravalituilla) helmikuussa. Hakuvaiheessa on kaikilla hakijoilla oltava suoritettuina vähintään 50 op pääaineen opintoja sekä edellä mainitut opettajan pedagogiset perusopinnot (25 op) tai kasvatustieteen ja/tai aikuiskasvatuksen perusopintoja 15 op (riippuen hakuväylästä). Kasvatustieteen ja aikuiskasvatustieteen perusopinnot (10 op) täydennetään opintokokonaisuudeksi opettajankoulutuslaitoksen ohjeiden mukaan valintaa seuraavana keväänä.

Opettajan pedagogiset aineopinnot on mahdollista korvata aikuiskouluttajan pedagogisilla opinnoilla (APO), joihin on haku ja valintakoe erikseen huhti-toukokuussa. Lisätietoja APO-opinnoista löytyy kasvatustieteen laitoksen www-sivuilta os. https://www.jyu.fi/edu/laitokset/kas/apo. Myös ammatilliset opettajan pedagogiset opinnot antavat saman opettajankelpoisuuden. Haku ammatillisiin opettajan pedagogisiin opintoihin on vuosittain tammikuussa. Lisätietoja ammatillisista opettajan pedagogisista opinnoista löytyy ammatillisten  opettajakorkeakoulujen yhteishaun www-sivuilta os. https://www.opekorkeahaku.fi/opehaku/.

Toisen sivuaineen aineenopettajaksi opiskelevat voivat valita vapaasti, mutta työllistymisen kannalta sivuaineeksi suositellaan perus- ja aineopintoja (25+35 op) jostakin koulussa opetettavasta aineesta, esimerkiksi matematiikasta, fysiikasta tai kemiasta. Lisää vaihtoehtoja löytyy yliopiston opetustarjonnasta. Huomaa kuitenkin, että osaan sivuainevaihtoehdoista on erillinen sivuainehaku, jossa hakuajat vaihtelevat oppiaineittain.

Sivuaineen aineopintokokonaisuus antaa opettajankelpoisuuden myös sivuaineeseen. Opintokokonaisuus tulee tällöin suorittaa ko. aineen opettajankoulutuslinjan opintovaatimusten mukaisesti. Kaikkiin yliopistossa tarjolla oleviin sivuainevaihtoehtoihin ei ole kuitenkaan mahdollisuutta saada opettajankelpoisuutta omassa yliopistossa.

Kouluttajaksi suuntaavat

Koulutusteknologian kouluttajiksi suuntaaville (ilman aineenopettajankelpoisuutta) ensimmäiseksi sivuaineeksi suoritetaan kasvatustieteen ja aikuiskasvatustieteen tai erityispedagogiikan perusopinnot (25 op). Toisen sivuaineen (25 op) voi valita vapaasti; sivuaineeksi sopii esimerkiksi viestintä, musiikkitiede, ympäristötiede ja -teknologia, elektroniikka, tilastotiede, kansantaloustiede, psykologia, liiketoimintaosaamisen perusteet tai vieraan kielen opinnot. Lisää sivuainevaihtoehtoja löytyy yliopiston opetustarjonnasta. Huomaa kuitenkin, että osaan sivuainevaihtoehdoista on erillinen sivuainehaku, jossa hakuajat vaihtelevat oppiaineittain.


[edellinen] [sisällys] [seuraava]